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众所周知

(相关资料图)

cos36°cos72°=cos(π/5)cos(2π/5)=1/4

cos20°cos40°cos80°=cos(π/9)cos(2π/9)cos(4π/9)=1/8.

由以上两个等式我们不难猜想存在角为π/n，把它不断扩大二倍直至小于且最接近π/2，并取其所有余弦值相乘，乘积为常数.

把这个猜想写成式子就是cos(π/n)cos(2π/n)cos(4π/n)……cos(2^t π/n)=k

其中2^t/n<1/2，2^(t+1)/n>1/2

在等式左边乘一个sin(π/n)再除以一个sin(π/n)

sin(π/n)cos(π/n)cos(2π/n)cos(4π/n)……cos(2^t π/n) / sin(π/n)=k

化用二倍角公式sin2α=2sinαcosα

sin(2^(t+1)π/n) / (sin(π/n)·2^t)=k

观察式子，特别地，当sin(2^(t+1)π/n)=sin(π/n)时k=1/2^t

此时2^(t+1)π/n+π/n=2λπ（λ∈Z*）

特别地，当λ=1时，[2^(t+1)+1]/n=1，则n=2^(t+1)+1

于是我们就得到了优美的等式