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「高中数学」自创优美数学等式-当前消息
来源:哔哩哔哩作者:洞察网2022-12-09 19:57:32

众所周知

cos36°cos72°=cos(π/5)cos(2π/5)=1/4


【资料图】

cos20°cos40°cos80°=cos(π/9)cos(2π/9)cos(4π/9)=1/8.

由以上两个等式我们不难猜想存在角为π/n,把它不断扩大二倍直至小于且最接近π/2,并取其所有余弦值相乘,乘积为常数.

把这个猜想写成式子就是cos(π/n)cos(2π/n)cos(4π/n)……cos(2^t π/n)=k

其中2^t/n<1/2,2^(t+1)/n>1/2

在等式左边乘一个sin(π/n)再除以一个sin(π/n)

sin(π/n)cos(π/n)cos(2π/n)cos(4π/n)……cos(2^t π/n) / sin(π/n)=k

化用二倍角公式sin2α=2sinαcosα

sin(2^(t+1)π/n) / (sin(π/n)·2^t)=k

观察式子,特别地,当sin(2^(t+1)π/n)=sin(π/n)时k=1/2^t

此时2^(t+1)π/n+π/n=2λπ(λ∈Z*)

特别地,当λ=1时,[2^(t+1)+1]/n=1,则n=2^(t+1)+1

于是我们就得到了优美的等式

[责任编辑:linlin]

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